しげ日記

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2005年10月28日

Phys Rev Lett 10/28

Entangled Networks, Synchronization, and Optimal Network Topology
Luca Donetti, Pablo I. Hurtado, and Miguel A. Munoz

「Entangled network」という新たなネットワークtopologyを見つけたよー、という論文。

最近はやりの、Network に関する研究（たとえば Small-world network など）は、おもに topology に焦点をあてたものが多い。確かに、人間関係のネットワークやWWWでのネットワークの研究では、topologyのみに注目してても、十分面白い。しかし、Neural networkでは、topologyに加えてdynamicsも知りたい。あるtopologyをもつネットワークにおいて、各ノード（ニューロン）が時々刻々とある活動をしているときにネットワーク全体としてどういうdynamicsになるか、ということに興味があるわけである。

ところが、BarabasiにしろWattsにしろNewmanにしろ、この手の研究で有名な人たちは、dynamicsにはあまり興味がないようです。（Barabasiなんか、scale-free network の結合行列の固有値まで求めているくせに、dynamicsには目も向けてない。。）

今回の論文は、topologyとdynamicsの両方に注目した論文です。

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Pecoraの論文（PRL1998やPRE1998など）では、ネットワークのsynchronizationの安定性に関する議論をしています；

ひとつの振動子のdynamicsは、

　dx / dt = F(x)

で記述できるとします。XはベクトルでもOKです。（Pecora論文では、x を3次元ベクトルとして Rossler Attractor などを考えたりしています。）この振動子が、N個存在して、お互いがinteractしているとき、i 番目の振動子の微分方程式を、

　dx_i / dt = F(x_i) + σ Σ_j L_ij H(x_j)

と記述します。ここで、L は結合行列で、L_ii = -k (kは、ノード i が有する結合数) 、L_ij = 1 （ノード i と j が結合があるとき）、L_ij = 0（ないとき）とします。（つまり、L は対称行列。）ここから、すべてのノードがsynchronizeしているときからの摂動を評価することにより、synchronizationの安定性を評価する、という流れみたいです。（途中はあんまりよく理解できなかった。）

結局、行列 L の固有値をもとめて、
固有値比 Q = (最大固有値) / (0以外の最小固有値)
が小さいほど安定性が高い、ということらしいです。トポロジーによって決まる結合行列 L から synchronization dynamics の安定性が議論できる、というのがミソ。

それでは、ネットワークのノード数 N と、平均結合数 を固定した場合、どのようなtopologyをもつネットワークが最も Q が小さいか（synchronizationが安定になりやすいか）、ということに焦点をあてたのが、今回の論文。

まずはじめに、例として、small-world network や random network や linear chainなどの Q を計算している。（この中では、small-world の Q がいちばん小さいらしい。）つぎに、Q が小さくなるように、これらのネットワークから（あるアルゴリズムによって）ノードをひとつひとつつなぎ変えていく。そうしてsその極限で得られたのが、この論文のFig1の右側のようなネットワーク。このネットワークの特徴は、
・各nodeの性質が非常に似通っている。
・コネクションはとても複雑で入り組んでいる。
・Modularityは乏しい。
など。このネットワークは、“ Entangled network ” (もつれネットワーク？)と名付けられてます。

実際、神経細胞のネットワーク（たとえばCA3のリカレントネットワーク）を考えてみると、small-worldよりもこっちのentangled networkの方が近いかもね。なんとなくですけど。

まあもっとも、この論文やPecora論文で言うところのsynchronizationと、神経生理学で興味のあるsynchronizationとではまた意味が違うのですが、まあでもnetworkのdynamicsに焦点をあてている論文、ということで長々と書いてみました。

投稿者 sfujisawa : 2005年10月28日 20:21

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